Trong toán học hiện đại, khái niệm tập hợp hữu hạn và vô hạn được xây dựng một cách chặt chẽ nhờ công trình của Georg Cantor. Ông không chỉ định nghĩa rõ ràng hai loại tập hợp này mà còn đưa ra cách hiểu hoàn toàn mới về “vô hạn”.
Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của nó có thể đếm được và bằng với một số tự nhiên. Nói đơn giản: Tập hợp hữu hạn là tập hợp có số lượng phần tử xác định.
Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không phải là tập hợp hữu hạn. Cantor đưa ra cách hiểu sâu hơn: Một tập hợp vô hạn là tập hợp có thể thiết lập tương ứng 1–1 với một tập con thực sự của chính nó. Và không phải mọi vô hạn đều giống nhau
Đây là một trong những bước tiến quan trọng nhất của toán học hiện đại.